Геометрические задачи. Параллелограммы

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Свойства параллелограмма (т.е. зная, что четырехугольник это параллелограмм, мы можем утверждать, что): •    противолежащие стороны равны; •    противоположные углы равны; •    диагонали точкой пересечения делятся пополам; •    сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°; Признаки параллелограмма: (т.е. четырехугольник является параллелограммом, если:) •    Две его противоположные стороны равны и параллельны. •    Противоположные стороны попарно равны. •    Противоположные углы попарно равны. •    Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. Свойства прямоугольника •    все свойства параллелограмма; •    диагонали равны. Признаки прямоугольника Параллелограмм является прямоугольником, если: •    Один из его углов прямой. •    Его диагонали равны.

Ромб – параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромба •    все свойства параллелограмма; •    диагонали перпендикулярны; •    диагонали являются биссектрисами его углов. Признаки ромба Параллелограмм является ромбом, если: •    Две его смежные стороны равны. •    Его диагонали перпендикулярны. •    Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны. Свойства квадрата •    все углы квадрата прямые; •    диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам. Признаки квадрата Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

  Важно понимать различие между свойствами и признаками. Дело в том, что если четырехугольник обладает свойством параллелограмма (прямоугольника/ромба/квадрата), то это совсем не обязательно будет параллелограмм (прямоугольник/ромб/квадрат). Необходимо внимательно анализировать имеющуюся информацию и не предполагать то, чего нет в условии. 

Например,
•    У параллелограмма две противоположные стороны параллельны. Это его свойство. Но на основании того, что у четырехугольника две стороны параллельны нельзя утверждать, что это параллелограмм, он может оказаться трапецией.
•    У прямоугольника диагонали равны. Но зная, что у четырехугольника диагонали равны, нельзя сделать вывод о том, что это прямоугольник, ведь это может быть даже не параллелограмм.
•    У ромба диагонали перпендикулярны. Но если у четырехугольника диагонали перпендикулярны, то это не основание считать его ромбом. Он снова может оказаться не параллелограммом.
Также важно быть уверенным, что вы можете отвечать на следующие простые вопросы:
•    Является ли любой квадрат прямоугольником?
•    Является ли любой квадрат ромбом?
•    Является ли любой ромб квадратом?
•    Является ли любой прямоугольник квадратом?
•    Является ли любой ромб параллелограммом?
И т.д.

Рассмотрим примеры задач.

Пример 1:
Is quadrilateral ABCD a parallelogram?
(1)    Two of the sides have length of 7.
(2)    Two of the opposite sides have length of 9.
Решение:

Из утверждения 1 мы понимаем, что две из четырех сторон четырехугольника равны. Но этого явно недостаточно, чтобы сказать, что многоугольник в условии –  параллелограмм. Мы смогли бы это утверждать, если, например, знали бы дополнительно, что эти стороны противоположные и параллельные.

Утверждение 2 также не дает оснований полагать, что речь идет о параллелограмме, так как неясно, параллельны ли эти стороны.

Объединяя их вместе, мы получаем, что две противоположные стороны равны по 9, значит длины другой пары противоположных сторон – 7. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то мы с уверенностью можем утверждать, что это параллелограмм. Правильный ответ C.

Пример 2:

Is quadrilateral ABCD a rectangle?

(1) Line segments AC and BD bisect one another.
(2) Angle ABC is a right angle.
(A) Statement 1 alone is sufficient but statement 2 alone is not sufficient to answer the question asked.
(B) Statement 2 alone is sufficient but statement 1 alone is not sufficient to answer the question asked.
(C) Both statements 1 and 2 together are sufficient to answer the question but neither statement is sufficient alone.
(D) Each statement alone is sufficient to answer the question.
(E) Statements 1 and 2 are not sufficient to answer the question asked and additional data is needed to answer the statements.
Решение:
Утверждение 1 дает нам понять, что ABCD – это параллелограмм, но не обязательно прямоугольник.
Утверждение 2 говорит нам, что один из углов четырехугольника прямой, чего также недостаточно, чтобы сделать вывод, что это будет прямоугольник.
Параллелограмм с одним прямым углом это и есть прямоугольник. Правильный ответ С.

Пример 3:
In the figure to the right, is quadrilateral PQRS a parallelogram?  
(1) The area of ”PQS is equal to the area of ”QRS.
(2) QR = RS
(A) Statement 1 alone is sufficient but statement 2 alone is not sufficient to answer the question asked.
(B) Statement 2 alone is sufficient but statement 1 alone is not sufficient to answer the question asked.
(C) Both statements 1 and 2 together are sufficient to answer the question but neither statement is sufficient alone.
(D) Each statement alone is sufficient to answer the question.
(E) Statements 1 and 2 are not sufficient to answer the question asked and additional data is needed to answer the statements.
Решение:
Утверждение 1 не гарантирует, что четырехугольник PQRS – параллелограмм. У ”PQS и ”QRS общая сторона QS, и равенство их площадей говорит нам всего лишь о равенстве высот к этой стороне. Этого можно добиться, например, передвижением точки Р параллельно QS.
Утверждение 2 также не дает оснований считать PQRS параллелограммом.
Даже собрав информацию из обоих утверждений, мы ничего не знаем о параллельности сторон четырехугольника.
Ответ E.

Материал подготовила: Olga Moskalenko, Gmat Math Consultant