MBA Strategy arrow GMAT arrow Геометрические задачи. Параллелограммы

Геометрические задачи. Параллелограммы


gmat_notebookМногие геометрические задачи касаются четырехугольников и, в частности, параллелограммов. Сегодня мы продолжим разговор об этих фигурах и об их частных случаях: прямоугольнике, ромбе, квадрате.

 

 

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
Свойства параллелограмма (т.е. зная, что четырехугольник это параллелограмм, мы можем утверждать, что):
•    противолежащие стороны равны;
•    противоположные углы равны;
•    диагонали точкой пересечения делятся пополам;
•    сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
Признаки параллелограмма: (т.е. четырехугольник является параллелограммом, если:)
•    Две его противоположные стороны равны и параллельны.
•    Противоположные стороны попарно равны.
•    Противоположные углы попарно равны.
•    Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Прямоугольник – это параллелограмм, у которого Прямоугольниквсе углы прямые.
Свойства прямоугольника
•    все свойства параллелограмма;
•    диагонали равны.
Признаки прямоугольника
Параллелограмм является прямоугольником, если:
•    Один из его углов прямой.
•    Его диагонали равны.
Ромб – параллелограмм, у которого все Ромбстороны равны.
Свойства ромба
•    все свойства параллелограмма;
•    диагонали перпендикулярны;
•    диагонали являются биссектрисами его углов.
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом, если:
•    Две его смежные стороны равны.
•    Его диагонали перпендикулярны.
•    Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадрат – прямоугольник, у которого все стороны равны.Квадрат
Свойства квадрата
•    все углы квадрата прямые;
•    диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Признаки квадрата
Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

 

 

  Важно понимать различие между свойствами и признаками. Дело в том, что если четырехугольник обладает свойством параллелограмма (прямоугольника/ромба/квадрата), то это совсем не обязательно будет параллелограмм (прямоугольник/ромб/квадрат). Необходимо внимательно анализировать имеющуюся информацию и не предполагать то, чего нет в условии. 


Например,
•    У параллелограмма две противоположные стороны параллельны. Это его свойство. Но на основании того, что у четырехугольника две стороны параллельны нельзя утверждать, что это параллелограмм, он может оказаться трапецией.
•    У прямоугольника диагонали равны. Но зная, что у четырехугольника диагонали равны, нельзя сделать вывод о том, что это прямоугольник, ведь это может быть даже не параллелограмм.
•    У ромба диагонали перпендикулярны. Но если у четырехугольника диагонали перпендикулярны, то это не основание считать его ромбом. Он снова может оказаться не параллелограммом.
Также важно быть уверенным, что вы можете отвечать на следующие простые вопросы:
•    Является ли любой квадрат прямоугольником?
•    Является ли любой квадрат ромбом?
•    Является ли любой ромб квадратом?
•    Является ли любой прямоугольник квадратом?
•    Является ли любой ромб параллелограммом?
И т.д.


Рассмотрим примеры задач.


Пример 1:
Is quadrilateral ABCD a parallelogram?
(1)    Two of the sides have length of 7.
(2)    Two of the opposite sides have length of 9.
Решение:

Из утверждения 1 мы понимаем, что две из четырех сторон четырехугольника равны. Но этого явно недостаточно, чтобы сказать, что многоугольник в условии –  параллелограмм. Мы смогли бы это утверждать, если, например, знали бы дополнительно, что эти стороны противоположные и параллельные.

Утверждение 2 также не дает оснований полагать, что речь идет о параллелограмме, так как неясно, параллельны ли эти стороны.

Объединяя их вместе, мы получаем, что две противоположные стороны равны по 9, значит длины другой пары противоположных сторон – 7. Если у четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то мы с уверенностью можем утверждать, что это параллелограмм. Правильный ответ C.

Пример 2:

Is quadrilateral ABCD a rectangle?

(1) Line segments AC and BD bisect one another.
(2) Angle ABC is a right angle.
(A) Statement 1 alone is sufficient but statement 2 alone is not sufficient to answer the question asked.
(B) Statement 2 alone is sufficient but statement 1 alone is not sufficient to answer the question asked.
(C) Both statements 1 and 2 together are sufficient to answer the question but neither statement is sufficient alone.
(D) Each statement alone is sufficient to answer the question.
(E) Statements 1 and 2 are not sufficient to answer the question asked and additional data is needed to answer the statements.
Решение:
Утверждение 1 дает нам понять, что ABCD – это параллелограмм, но не обязательно прямоугольник.
Утверждение 2 говорит нам, что один из углов четырехугольника прямой, чего также недостаточно, чтобы сделать вывод, что это будет прямоугольник.
Параллелограмм с одним прямым углом это и есть прямоугольник. Правильный ответ С.


Пример 3:
In the figure to the right, is quadrilateral PQRS a parallelogram?  
(1) The area of ”PQS is equal to the area of ”QRS. parallelogram
(2) QR = RS
(A) Statement 1 alone is sufficient but statement 2 alone is not sufficient to answer the question asked.
(B) Statement 2 alone is sufficient but statement 1 alone is not sufficient to answer the question asked.
(C) Both statements 1 and 2 together are sufficient to answer the question but neither statement is sufficient alone.
(D) Each statement alone is sufficient to answer the question.
(E) Statements 1 and 2 are not sufficient to answer the question asked and additional data is needed to answer the statements.
Решение:
Утверждение 1 не гарантирует, что четырехугольник PQRS – параллелограмм. У ”PQS и ”QRS общая сторона QS, и равенство их площадей говорит нам всего лишь о равенстве высот к этой стороне. Этого можно добиться, например, передвижением точки Р параллельно QS.
Утверждение 2 также не дает оснований считать PQRS параллелограммом.
Даже собрав информацию из обоих утверждений, мы ничего не знаем о параллельности сторон четырехугольника.
Ответ E.


Материал подготовила: Olga Moskalenko, Gmat Math Consultant

blog comments powered by Disqus

Подписка на новости Subscribe


Запишитесь
на бесплатную консультацию!
Оставьте свои данные, и в течение 12 часов с Вами свяжется наш менеджер и согласует удобное для Вас время консультации
Self-Study

Успешная подготовка к GMAT

Только MBA Strategy предлагает лучшую
подготовку к GMAT, которую вы можете
найти! Эксперты-преподаватели
с собственным результатом 99%, идеальное
понимания адаптивного алгоритма GMAT,
любой формат подготовки на разных уровнях
сложности - гарантируют результат
GMAT подготовки наших студентов.

Выбрать курс Отзывы